Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225；等比数列{bn}满足：b3=a2+a3，b2b5=128（1）求数列{an

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225；等比数列{bn}满足：b3=a2+a3，b2b5=128（1）求数列{an}和{bn}的通项公式（2）记cn=an+bn求数列{cn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（1）设a_n=a₁+（n-1）d，S_n=

n(a1+an)

2

，
所以 a₃=a₁+2d=5      ①，
S₁₅=

15( a1+a15)

2

=15（a₁+7d）=225
a₁+7d=15         ②
①②联立解得d=2，a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1
设b_n=b₁?q^（n-1），
所以 b₃=a₂+a₃=8，
b₂=

b3

q

，b₅=b₃?q²
∴b₂?b₅=b₃²?q=64?q=128
∴q=2
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=b₃?q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（2）∵c_n=（2n-1）?2ⁿ
∵Tn=2+3?2²+5?2³+…+（2n-1）?2ⁿ
2Tn=2²+3?2³+5?2⁴+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2 ⁿ⁺¹
作差：-Tn=2+2³+2⁴+2⁵+…+2 ⁿ⁺¹-（2n-1）?2 ⁿ⁺¹
=2+23（1-2n-1）1-2-（2n-1）?2n+1
=2+

23(1?2n?1)

1?2

-（2n-1）?2 ⁿ⁺¹
=2+2ⁿ⁺²-8-2 ⁿ⁺²n+2 ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹?（2n-3）
∴Tn=（2n-3）?2 ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．