Question

在△ABC中，若AB=2，AC 2 +BC 2 =8，则△ABC面积的最大值为______

在△ABC中，若AB=2，AC 2 +BC 2 =8，则△ABC面积的最大值为______．

Answer 1

令AC=b，BC=a，AB=c，则c=2，a 2 +b 2 =8， 根据余弦定理得：cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab = 2 ab ， ∴cotC= cosC sinC = 2 absinC = 1 1 2 absinC = 1 S ， 即S=tanC，又0＜C＜90°，且tanC单调增， 而cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab ，当且仅当a=b时，cosC最小， 又cosC单调减，cosC最小时，tanC最大，又a 2 +b 2 =8， 则当a=b=2，即△ABC为等边三角形时，△ABC面积最大，最大面积为 3 4 ×2 2 = 3 ． 故答案为： 3