Question

设f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），则其导函数方程f′（x）=0有______个实根

设f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），则其导函数方程f′（x）=0有______个实根．

Answer 1

由于f（x）是4次多项式，因而f′（x）是三次多项式
∴f′（x）=0至多有三个实根
又f（0）=f（1）=f（2）=f（3）=0，而f（x）在[0，3]连续，在（0，3）可导
故，由罗尔定理得
在（0，1）、（1，2）、（2，3）分别至少存在导函数为0的点
即f′（x）=0至少有三个实根
∴f′（x）=0有三个实根．