Question

一道数学函数题。

已知：点A（m，0）是x轴负半轴上一个动点，B（0，4），△ABO绕原点O沿逆时针方向旋转90°到△DCO的位置，过A，C，D三点的抛物线的顶点E，EH⊥x轴于H，与直线BC交于点F，与直线CD交于点G ．(1) 直接写出C，D的坐标：C （   ，  ）；D （   ，   ）( 可含有字母m ) ；   (2) 求出过A，C，D三点的抛物线的解析式（用m的代数式表示）；  (3) 求证：EF=EG； (4) 若过A，C，D三点的抛物线的顶点E在△ABC的内部（包括边界），求FG的最大值．

Answer 1

(1) CO=OB=4，C(-4, 0)
m < 0, OD = OA = -m, D(0, m)

(2)
与x轴相交于C, A, 则可表达为y = a(x + 4)(x - m)
其常数项为-4ma = m (D的纵坐标), a = -1/4
y = (-1/4)(x + 4)(x - m)

(3)
对称轴为x = (m - 4)/2, E的纵坐标e = (-1/4)[(m - 4)/2 + 4][(m - 4)/2 - m] = (m+4)²/16
BC: x/(-4) + y/4 = 1, y = x + 4， F的纵坐标f = (m - 4)/2 + 4 = (m+4)/2
CD: x/(-4) + y/m = 1, y = mx/4 + m, G的纵坐标g = m[(m - 4)/2]/4 + m = m(m+4)/8
EF = f - e = -(m+4)(m-4)/16
EG = e - g = -(m+4)(m-4)/16 = EF

(4)
这里不考虑m = -4的情况（此时A，C重合)
FG＝ f - g = (m+4)/2 - m(m+4)/8 = -(m+4)(m-4)/8 = 2 - m²/8

E在三角形ABC的内部，则E的纵坐标e≤F的纵坐标f
(m+4)²/16 ≤ (m+4)/2 (i)
(a) -4 < m < 0， m + 4 > 0
(i)的解为m<4, 在-4 < m < 0内总成立。
m接近于0(但不等于0）时FG最大
(b) m < -4, m+4 < 0
(i)变为m+4≥8, m ≥ -4, 与前提矛盾，不考虑。

Answer 2

(1) C(-4，0)，D(0，-m)
(2) 设抛物线解析式为：y=ax²+bx+c
经过C点：16a-4b+c=0.............①
经过A点：am²-mb+c=0...........②
经过D点：c=-m...........③
解①②③式，得 a=-1/4，b=-(4+m)/4 c=-m
抛物线解析式为：y=-1/4x²-(4+m)/4x-m
(3) y=-1/4(x²+(4+m)x)-m
y=-1/4[x+(4+m)/2]²+(4+m)²/16-m
对称轴为 x=-(4+m)/2
EH=(4+m)²/16-m
CH=(4-m)/2
EF=HE-EH=CH-EH=(4-m)/2-(4+m)²/16+m=(4+m)/2-(4+m)²/16
tan∠OCD=-m/4
GH=HC*tan∠OCD=(m²-4m)/8
GE=GH+HE=(4+m)²/16-m-(m²-4m)/8=EF
(4) 0<HE<HF
即 0<(4+m)²/16-m<(4-m)/2
求出m