Question

帮忙求下这个微分方程。。

4x=2y^(1/2)+dy/dx。。 帮帮忙啦。。谢了

Answer 1

解：设√y=t,则y=t²，dy=2tdt
代入原方程得2tdt/dx+2t=4x
==>tdt/dx=2x-t
==>tdt=(2x-t)dx
==>(t/x)dt=(2-t/x)dx......(1)
再设t/x=z,则t=xz,dt=xdz+zdx
代入(1)得z(xdz+zdx)=(2-z)dx
==>xzdz+z²dx=(2-z)dx
==>xzdz=(2-z-z²)dx
==>xzdz=(1-z)(2+z)dx
==>zdz/[(1-z)(2+z)]=dx/x
==>(1/3)[1/(1-z)-2/(2+z)]dz=dx/x
==>[1/(1-z)-2/(2+z)]dz=3dx/x
==>ln│1-z│+2ln│2+z│]=-3ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>ln│(1-z)(2+z)²│=ln│C/x³│
==>(1-z)(2+z)²=C/x³
==>(1-t/x)(2+t/x)²=C/x³ (z=t/x)
==>(x-t)(2x+t)²/x³=C/x³
==>(x-t)(2x+t)²=C
==>(x-√y)(2x+√y)²=C (t=√y)
故原微分方程的通解是(x-√y)(2x+√y)²=C (C是积分常数)。