Question

在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2,试判断△ABC的形状

Answer 1

一
根据已知条件
sina=2sinbcosc，
∵
sina=sin(180-(b+c))=sin(b+c)=sinbcosc+cosbsinc
∴
根据已知，有
sinbcosc+cosbsinc=2sinbcosc；
得出
cosbsinc=sinbcosc,即
b=c,三角形为等腰三角形。
二
根据已知条件
sin²a=sin²b+sin²c，
∵
b=c,
∴
sin²a=2sin²b=2sin²c，
∴sin²a/sin²b=2,
∴sina/sinb=√2，
∴sina=√2sinb=√2sinc;
得出a=90°，b=c=45°。
三角形为等腰直角三角形。

Answer 2

由正弦定理
(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2
等价于a^2=b^2+c^2
可知△ABC直角三角形
A=π/2
sinA=2sinBcosC
1=2sinBcos(π/2-B)
1=2sinBsinB
sinB=1/√2
可知B=π/4
△ABC等腰直角三角形