Question

已知向量组α β γ线性相关, 证明 向量组α+β β+γ γ+α 也线性无关

问题错误 已知向量组α β γ线性无关, 证明 向量组α+β β+γ γ+α 也线性无关

Answer 1

题目打错了吧，应该是α β γ线性无关吧
证明：假设α+β β+γ γ+α 线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，k3，使得
k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ+α)=0
(k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0
又因为α β γ线性无关
所以k1+k3=k1+k2=k2+k3=0解得k1=k2=k3=0与假设矛盾，所以假设不成立
所以α+β β+γ γ+α 线性无关

Answer 2

证明：原问题等价于证明对于k₁(α+β)+k₂(β+γ)+k₃(γ+α)=0,有k₁=k₂=k₃=0。
由k₁(α+β)+k₂(β+γ)+k₃(γ+α)=（k₁+k₃）α+(k₁+k₂)β+(k₂+k₃)γ=0
因为向量组α β γ线性无关，所以k₁+k₃=k₁+k₂=k₂+k₃=0
可以解得k₁=k₂=k₃=0，从而向量组α+β β+γ γ+α 线性无关。
原问题证得。

Answer 3

设存在一组数K1，K2，K3使得下式成立
K1(α+β)+K2( β+γ)+K3( γ+α)=0
将上式左端整理成α β γ的线性组合，得
（K1+K3）α+(K1+K2)β+(K2+K3)γ=0
由于 α β γ线性无关，从而有K1+ K3=0
K1+K2 =0
K2+K3=0
关于K1，K2，K3的 齐次线性方程组，其系数行列式A=2≠0
因此方程组仅有零解，那么，当且仅当K1=K2=K3=0时
K1(α+β)+K2( β+γ)+K3( γ+α)=0成立，故向量组α+β β+γ γ+α 也线性无关