Question

设β1=α1，β2=α1+α2，βn=α1+α2+……αr，且向量组α1，α2……αr线性无关

证明β1，β2……β3线性无关

Answer 1

用反证法，设β1，β2……βr线性相关。则存在不全为0实数k1,k2,...,kr使得
k1βr+...+krβr=0,即
(k1+k2+...+kr)α1+(k2+...+kr)α2+...+krαr=0,
因为k1,k2,...,kr不全为0,所以k1+...+kr,k2+...+kr,...,kr也不全为0，所以α1，...αr线性相关。矛盾。