Question

1/n的前n项和是多少?

Answer 1

数列1/n的前n项和没有通项公式，但它存在极限值，当n趋于无穷大时，其极限值为ln2,下面给出证明：

设a(n)=1/（n+1）+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)

lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)

取对数

1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0

又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn

=ln(n+1)-lnn>0

故lim b(n)=c,c为常数

由上题a(n)=b(2n)-b(n)+ln(2n)-lnn

lim a(n)=lim b(2n)-lim b(n)+ln2 ---当n趋于无穷大时，lim b(2n)＝lim b(n)＝c

=c-c+ln2

=ln2

--------2n-1

故 lim∑1/n=lim [a(n)+1/n-1/2n]=lim a(n)+lim 1/n-lim 1/2n=ln2+0-0=ln2

-------i=n

扩展资料：

数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

对于正项数列：（数列的各项都是正数的为正项数列）

1）从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7；

2）从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；

3）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）；

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，如  。

数列通项公式的特点：

1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；

2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列递推公式特点：

1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。

2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。

Answer 2

解：数列{1/n}的前n项和，Sn=1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)也叫调和级数。 对于调和级数1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)求和，目前无较好的方法。只能用尤拉公式来近似计算。即1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)=(㏑n)+γ.(γ称尤拉常数，γ≈0.5772175... ），一般的，n越大，由尤拉公式计算的结果误差就越小。

Answer 3

数列1/n的前n项和没有通项公式，但它存在极限值，当n趋于无穷大时，其极限值为ln2,下面给出证明：

设a(n)=1/（n+1）+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)
lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)
取对数
1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n
设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0
又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn>0
故lim b(n)=c,c为常数
由上题a(n)=b(2n)-b(n)+ln(2n)-lnn
lim a(n)=lim b(2n)-lim b(n)+ln2 ---当n趋于无穷大时，lim b(2n)＝lim b(n)＝c
=c-c+ln2
=ln2
--------2n-1
故 lim∑1/n=lim [a(n)+1/n-1/2n]=lim a(n)+lim 1/n-lim 1/2n=ln2+0-0=ln2
-------i=n

Answer 4

这是个发散的数列

Answer 5

e