Question

已知一个数列{a n }的各项是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有f（k）个2，记数列的前n项的和为S

已知一个数列{a n }的各项是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有f（k）个2，记数列的前n项的和为S n ．（1）若f（k）=2 k-1 ，求S 100 ；（2）若f（k）=2k-1，求S 2011 ．

Answer 1

（1）若f（k）=2 k-1 ，则数列为1，2，1，2，2，1，2，2，2，1… 记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为b k ，则 b k = 2 k-1 +1 …（2分） 又当k=6时，b 1 +b 2 +…+b 6 =2+3+5+9+17+33=69＜100 但当k=6时，b 1 +b 2 +…+b 7 =2+3+5+9+17+33+65=134＞100…（5分） 所以前100项中由前6组以及第7组的部分元素构成，故有7个1和93个2， 从而S 100 =7+93×2=193…（7分） （2）若f（k）=2k-1，则数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1… 记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为b k ，则b k =2k…（11分） 令b 1 +b 2 +…+b n =2+4+…+2n=n（n+1）＜2011， 而44×45=1980＜2011，45×46=2070＞2011 故n=44，即前2011项中有45个以及1966个2，所以S 2011 =45+1966×2=3977…（14分）