Question

点P是三角形ABC内的一点 PG是BC垂直平分线，角PBC等于2分之1角A BP,CP延长线交AC AB于D E, 求证：BE等于CD

Answer 1

在CE上或CE的延长线上取一点F，使得：CF = BD 。

已知，PG是BC垂直平分线，可得：PB = PC ，则有：∠PCB = ∠PBC = (1/2)∠A 。

在△CBF和△BCD中，CF = BD ，∠BCF = ∠CBD ，BC为公共边，
所以，△CBF ≌ △BCD ，可得：BF = CD ，∠CBF = ∠BCD ，∠CFB = ∠BDC 。

① 若点F在CE上，则有：
∠BFE = ∠CBF+∠PCB = ∠BCD+∠PCB = ∠ACE+2∠PCB = ∠ACE+∠A = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
② 若点F在CE的延长线上，则有：
∠BFE = ∠BDC = ∠ABD+∠A = ∠ABD+∠PBC+∠PCB = ∠ABC+∠PCB = ∠AEC = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
③ 若点F和点E重合，
可得：BE = BF = CD ；

综上可得：BE = CD 。

Answer 2

证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
∠PFB=∠PMC∠BPF=∠CPM PB=PC
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB= ∠BPE
∵∠PBC=∠A
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，
∠BEF=∠CDM∠BFE=∠CMD BF=CM
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．

Answer 3

BE等于CD