Question

已知圆C经过点A（-3，0），B（3，0），且圆心在直线y=x上，又直线l：y=kx+2与圆C交于P，Q两点（1）求圆C

已知圆C经过点A（-3，0），B（3，0），且圆心在直线y=x上，又直线l：y=kx+2与圆C交于P，Q两点（1）求圆C的方程；（2）过点（0，2）做直线a与L垂直，且直线a与圆C交于M，N俩点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

（1）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（-3，0），B（3，0），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+3)2+a2

＝

(a?3)2+a2

＝r，
解得a=0，r=3，…（2分）
所以圆C的方程是x²+y²=9；
（2）设圆心O到直线l，a的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，a都经过点（0，2），且l⊥a，根据勾股定理，有d12+d2＝4，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2

9?d2

，|MN|=2

9?d12

，…（11分）
所以S=

1

2

×2

9?d2

×2

9?d12

=2

81?9(d12+d2)+d12d2

=2

45+d12d2

≤2

45+( d12+d2 2 )2

=14…（13分）
当且仅当d₁=d时，等号成立，所以S的最大值为14．…（14分）