已知数列{a n }满足a 1 =-1，a n+1 -2a n -3=0数列{b n }满足b n =log 2 （a n +3）．（1）求{b n }的通
已知数列{an}满足a1=-1，an+1-2an-3=0数列{bn}满足bn=log2（an+3）．（1）求{bn}的通项公式；（2）若数列{2n+1bn}的前n项的和为...
已知数列{a n }满足a 1 =-1，a n+1 -2a n -3=0数列{b n }满足b n =log 2 （a n +3）．（1）求{b n }的通项公式；（2）若数列{2 n+1 b n }的前n项的和为s n ，试比较s n 与8n 2 -4n的大小．
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| （1）由有a n+1 -2a n -3=0，得：a n+1 +3=2（a n +3）， ∴a n +3=（a 1 +3）2 n-1 =2 n ， ∴b n =log 2 2 n =n； （2）∵S n =1×2 2 +2×2 3 +3×2 4 +…+n×2 n+1 ① ①×2得：2S n =1×2 3 +2×2 4 +3×2 5 +…+n×2 n+2 ② ①-②得：S n =2 2 +2 3 +2 4 +…+2 n+1 -n×2 n+2 =
∴S n =4+（n-1）×2 n+2 ， ∴S n -（8n 2 -4n）=4+（n-1）×2 n+2 -8n 2 +4n=（n-1）2 n+2 -4（2n+1）（n-1）=4（n-1）[2 n -（2n+1）] 当n=1时，S n -（8n 2 -4n）=0，即S n =8n 2 -4n； 当n=2时，S n -（8n 2 -4n）=4×（2 2 -5）=-4，即S n ＜8n 2 -4n； 当n=3时，S n -（8n 2 -4n）=4×2×（2 3 -7）=8，即S n ＞8n 2 -4n； 当n＞3时，由指数函数的图象知总有2 n ＞（2n+1）， ∴n＞3时，有S n ＞8n 2 -4n． |
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