牛顿曾证明:一个均匀球壳,对球壳内物质的万有引力为零,而对球壳外物质的万有引力不为零,并且其作用就

牛顿曾证明:一个均匀球壳,对球壳内物质的万有引力为零,而对球壳外物质的万有引力不为零,并且其作用就相当于球壳的质量都集中到球心那样.我们想象一个沿着地球转轴,穿过地球的通... 牛顿曾证明:一个均匀球壳,对球壳内物质的万有引力为零,而对球壳外物质的万有引力不为零,并且其作用就相当于球壳的质量都集中到球心那样.我们想象一个沿着地球转轴,穿过地球的通道.假设地球是一个均匀的球体,可以忽略空气阻力、摩擦等的影响,地球半径为R,质量为M.(1)在地球表面,把小球放在上述通道的一洞口,由静止释放,他将怎样运动?试求小球到达另一洞口所需的时间.(2)假定就在地球表面上,和经线圈平行有一个卫星轨道,当卫星正好飞过通道的入口处时,把小球静止释放,问卫星和小球,那个先到达通道的另一个出口处.(3)将物体从地心抛向地面,为了使他能到达地面,从地心抛出时的初速度应是多大? 展开
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知道答主
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(1)设物体运动到某一位置时距地球球心O的距离为x
则:F=G
M′m
x2
M′
M
4
3
πx3
4
3
πR3

所以:F=G
Mm
R3
x

而力F的方向与x的方向相反,故小球在隧道的运动为简谐振动,
T=
m
k
=
R3
GM

故t=
T
2
=π
R3
GM

(2)在通道入口把小球静止释放,到达通道出口所用时间,即第一问所得:t1=π
R3
GM

卫星沿经线圈做圆周运动,根据万有引力做向心力,得:
GMm″
R2
m″v2
R

卫星由入口到出口运动距离为:l=πR=vt2
联立得:t2=π
R3
GM

因t1和t2时间相等,故卫星和小球同时到达通道出口;
(3)根据机械能守恒,设小球刚好能到达地面,其初速度为v0,则:
1
2
mv02=mgR

由万有引力充当重力得:
GM
R2
=g

联立得:v0
2GM
R

故从地心抛出时的初速度不小于
2GM
R

答:(1)小球在隧道的运动为简谐振动,小球到达另一洞口所需的时间为π
R3
GM

(2)两者同时到达;
(3)从地心抛出时的初速度不小于
2GM
R
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