Question

把两个含有45度角的直角三角形如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交于BE于点F，

把两个含有45度角的直角三角形如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交于BE于点F，求证：AF⊥BE

Answer 1

解释：可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论．本题中我们可通过证明三角形BEC和ACD全等得出∠FBD=∠CAD，根据∠CAD+∠CDA=90°，而∠BDF=∠ADC，因此可得出∠BFD=90°，进而得出结论．那么证明三角形BEC和ACD全等就是解题的关键，两直角三角形中，EC=CD，BC=AC，两直角边对应相等，因此两三角形就全等了．解答：证明：AF⊥BE，理由如下：由题意可知∠DEC=∠EDC=45°，∠CBA=∠CAB=45°，∴EC=DC，BC=AC，又∠DCE=∠DCA=90°，∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形，∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°．在△BEC和△ADC中EC=DC，∠ECB=∠DCA，BC=AC，∴△BEC≌△ADC（SAS）．∴∠EBC=∠DAC．∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，∴∠EBC+∠FDB=90°．∴∠BFD=90°，即AF⊥BE．
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