Question

如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ

如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ，设AP=x．（1）BQ+DQ的最小值是______．此时x的值是______．（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD=90°． ①求证：点E是CD的中点；②求x的值．（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．

Answer 1

（1）答：

2

，

2

?1．

（2）①证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC=∠EQB-∠CQB=∠ECB-∠QCB=∠ECQ，
∴EQ=EC．
在Rt△QDC中，
∵∠QDE=90°-∠QCE，
∠DQE=90°-∠EQC，
∴∠QDE=∠DQE，
∴EQ=ED，
∴CE=EQ=ED，即E为CD的中点．
②解：∵AP=x，AD=1，
∴PD=1-x，PQ=x，CD=1．
在Rt△DQC中，
∵E为CD的中点，
∴DE=QE=CE=

1

2

，
∴PE=PQ+QE=x+

1

2

，
∴(x+

1

2

)2＝(1?x)2+(

1

2

)2，
解得 x=

1

3

．

（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2-

3

，

3

3

，2+

3

．
（分析如下：以下内容作答不要求书写）
如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q₁，Q₃．此时△CDQ₁，△CDQ₃都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q₂，此时△CDQ₂以CD为底的等腰三角形．

以下对此Q₁，Q₂，Q₃．分别讨论各自的P点，并求AP的值．

①讨论Q₁，如图作辅助线，连接BQ₁、CQ₁，作PQ₁⊥BQ₁交AD于P，过点Q₁，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ₁为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴

Answer 2

（1）BQ+DQ为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为
2
．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AP=x，则PD=1-x，PQ=x．又PDQ=45°，所以PD=
2
PQ，即1-x=
2
x．求解可得x=
2
-1．
（2）由已知条件对称分析，AB=BQ=BC，则∠BCQ=∠BQC，由∠BQE=∠BCE=90°，可得∠EQC=∠ECQ．那么若有QE=ED，则结论可证．再分析新条件∠CQD=90°，易得①结论．求x，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形PDE，发现PE，DE，PD都可用x来表示，进而易得方程，求解即可．
（3）若△CDQ为等腰三角形，则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边．又Q点为A点关于PB的对称点，则AB=QB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则Q点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为腰）的Q点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为底）的Q点．则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．

解答：（1）答：
2
，
2
-1．

（2）①证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC=∠EQB-∠CQB=∠ECB-∠QCB=∠ECQ，
∴EQ=EC．
在Rt△QDC中，
∵∠QDE=90°-∠QCE，
∠DQE=90°-∠EQC，
∴∠QDE=∠DQE，
∴EQ=ED，
∴CE=EQ=ED，即E为CD的中点．
②解：∵AP=x，AD=1，
∴PD=1-x，PQ=x，CD=1．
在Rt△DQC中，
∵E为CD的中点，
∴DE=QE=CE=
1
2
，
∴PE=PQ+QE=x+
1
2
，
∴(x+
1
2
)2=(1-x)2+(
1
2
)2，
解得 x=
1
3
．

（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2-
3
，

3

3
，2+
3
．
（分析如下：以下内容作答不要求书写）
如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．

以下对此Q1，Q2，Q3．分别讨论各自的P点，并求AP的值．

①讨论Q1，如图作辅助线，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴Q1F=

3

2
，Q1E=
2-
3

2
．
在四边形ABPQ1中，
∵∠ABQ1=30°，
∴∠APQ1=150°，
∴△PEQ1为含30°的直角三角形，
∴PE=
3
EQ1=
2
3
-3

2
．
∵AE=
1
2
，
∴x=AP=AE-PE=2-
3
．

②讨论Q2，如图作辅助线，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．

∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ2=BQ2．
∵AB=BQ2，
∴△ABQ2为等边三角形．
在四边形ABQP中，
∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ2=60°，
∴∠APE=120°
∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，
∴Q2E=
2-
3

2
，
∴EG=
2
3
-3

2
，
∴DG=DE+GE=
3
-1，
∴PD=1-

3

3
，
∴x=AP=1-PD=

3

3
．

③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．

∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=1，
∴Q1Q2=
3
，Q1E=
2-
3

2
，
∴EF=
2+
3

2
．
在四边形ABQ3P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP=
3
EF=
2
3
+3

2
．
∵AE=
1
2
，
∴x=AP=AE+PE=
3
+2．
综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2-
3
，

3

3
，2+
3
．

点评：本题第一问非常基础，难度较低．第二问因为动点的原因，思路不易找到，这里就需要做题时充分分析已知条件，尤其是新给出的条件．其中求边长是勾股定理的重要应用，是很重要的考点．第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全．另外求解各个P点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用，有着极高的难度．