Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足：a 1 =a(a≠0)，a n+1 =rS n (n∈N*，r∈R，r≠-1)， (1)求数列{

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足：a 1 =a(a≠0)，a n+1 =rS n (n∈N*，r∈R，r≠-1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在k∈N*，使得S k+1 ，S k ，S k+2 成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1 ，a m ，a m+2 是否成等差数列，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1)由已知 ，可得 ， 两式相减可得 ，即 ， 又a 2 =ra 1 =ra， 所以当r=0时，数列{a n }为：a，0，…，0，…； 当r≠0，r≠-1时，由已知a≠0，所以a n ≠0(n∈N*)， 于是由 ，可得 ， ∴a 2 ，a 3 ，…，a n ，…成等比数列， ∴当n≥2时， ， 综上，数列{a n }的通项公式为 ； (2)对于任意的m∈N*，且m≥2， 成等差数列． 证明如下：当r=0时，由(1)知 ， ∴对于任意的m∈N*，且m≥2， 成等差数列； 当r≠0，r≠-1时， ∵ ， 若存在k∈N*，使得 成等差数列，则 ， ∴ ，即 ， 由(1)知，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…的公比r+1=-2， 于是对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1 =-2a m ， 从而 ， ∴ ，即 成等差数列． 综上，对于任意的m∈N*，且m≥2， 成等差数列．