Question

如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上的一点，且AC=EC．（1）求证：AE平分∠CAD；（2）设AE交CD于点F

如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上的一点，且AC=EC．（1）求证：AE平分∠CAD；（2）设AE交CD于点F，正方形ABCD的边长为1，求DF的长．（结果保留根号）

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠BCA=∠DAC=45°，
又∵AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠E=∠DAF，
∴∠DAF=∠CAF，
∴AE平分∠CAD；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠D=∠DCE=90°，
∴AC=

AB2+BC2

=

2

，
∴CE=AC=

2

，
又∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴

AD

CE

=

DF

CF

，
∴

1

2

=

DF

1?DF

，
解得：DF=

2

-1．