Question

如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连 接BD、DC．（1）

如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连 接BD、DC．（1）求证：BD=DC=DI；（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AI平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∴ BD = DC ， ∴BD=DC． ∵BI平分∠ABC， ∴∠ABI=∠CBI． ∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC， ∴∠BAD=∠DBC． 又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD， ∴∠DBI=∠DIB， ∴△BDI为等腰三角形， ∴BD=ID， ∴BD=DC=DI． （2）当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形， ∴圆心O在△ABC外． 连接OB、OD、OC． ∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°， ∴∠DBC=∠DCB=60°， ∴△BDC为正三角形． ∴OB是∠DBC的平分线， 延长CO交BD于点E，则OE⊥BD， ∴BE= 1 2 BD， 又∵OB=10， ∴BD=2OBcos30°=2×10× 3 2 =10 3 ． ∴CE=BD?sin60°=10 3 × 3 2 =15， ∴S △BDC = 1 2 BD?CE= 1 2 ×10 3 ×15=75 3 ． 答：△BDC的面积为75 3 cm 2 ．