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(2012?乌鲁木齐)如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA.(1)求证:直
(2012?乌鲁木齐)如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA.(1)求证:直线MN是⊙O的切线;(2)过点A作AD⊥MN于点D,...
(2012?乌鲁木齐)如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA.(1)求证:直线MN是⊙O的切线;(2)过点A作AD⊥MN于点D,交⊙O于点E,已知AB=6,BC=3,求阴影部分的面积.
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解答:(1)证明:连接OC,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/6159252dd42a283423e43ab958b5c9ea14cebfc5?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∵AB是⊙O直径,C为圆周上的一点,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,又∠MCA=∠CBA,
∴∠MCA=∠OCB,
∴∠ACO+∠MCA=90°,
即OC⊥MN,
∵OC为半径,
∴直线MN是⊙O的切线;
(2)解:连接OE,CE,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/03087bf40ad162d9452d3ce012dfa9ec8b13cd0f?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
由(1)OC⊥MN,AD⊥MN,得OC∥AE,
在Rt△ACB中,cos∠B=
=
,
∴∠B=60°,
∴OC=OB=BC=3,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠COB=60°,
∵OC∥AE,
∴∠EAO=∠COB=60°,
∵OE=OA,
∴△OEA是等边三角形,
∴OC=AE,四边形AOCE是平行四边形,故S△EAC=S△EOC,
于是S阴影=S△ADC-S扇形EOC,
在Rt△ACB中,BC=3,AB=6,∴AC=3
,
在Rt△ADC中,AC=3
,∠DCA=∠B=60°,∴DC=
,AD=
,
∴S△ADC=
AD?DC=
,而S扇形EOC=
=
,
于是S阴=S△ADC-S扇形EOC=
.
∵AB是⊙O直径,C为圆周上的一点,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,又∠MCA=∠CBA,
∴∠MCA=∠OCB,
∴∠ACO+∠MCA=90°,
即OC⊥MN,
∵OC为半径,
∴直线MN是⊙O的切线;
(2)解:连接OE,CE,
由(1)OC⊥MN,AD⊥MN,得OC∥AE,
在Rt△ACB中,cos∠B=
BC |
AB |
1 |
2 |
∴∠B=60°,
∴OC=OB=BC=3,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠COB=60°,
∵OC∥AE,
∴∠EAO=∠COB=60°,
∵OE=OA,
∴△OEA是等边三角形,
∴OC=AE,四边形AOCE是平行四边形,故S△EAC=S△EOC,
于是S阴影=S△ADC-S扇形EOC,
在Rt△ACB中,BC=3,AB=6,∴AC=3
3 |
在Rt△ADC中,AC=3
3 |
3 |
2 |
3 |
9 |
2 |
∴S△ADC=
1 |
2 |
27
| ||
8 |
60π×32 |
360 |
3π |
2 |
于是S阴=S△ADC-S扇形EOC=
27
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8 |
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