Question

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)将圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的周长平分为长度

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)将圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的周长平分为长度相等的两部，1/a+1/b的最小值是

Answer 1

圆：(x+1)^2+(y-2)^2=4

所以这是一个以（-1，2）为圆心，2为半径的圆

直线平分周长，即直线过圆心（-1，2）

将（-1，2）代入2ax-by+2=0，化简得

a+b=1

原式=1/(a-a^2)＞0

所以即为求 -a^2+a 在区间（0,1）上的最大值

由二次函数相关知识，应取a=b=1/2

所以最小值为4

Answer 2

x^2+y^2+2x-4y+1=0
(x+1)^2+(y-2)^2=4
圆心(-1,2)
平分圆的周长则过圆心
所以-2a-2b+2=0
a+b=1
1/a+1/b=(1/a+1/b)(a+b) 因为a+b=1
=2+a/b+b/a
a>0,b>0
所以a/b+b/a>=2根号(a/b*b/a)=2
当a/b=b/a,a=b=0.5时取等号
所以1/a+1/b>=2+2=4
所以最小值=4