Question

数学 圆锥曲线 第二问 详解

Answer 1

(1)抛物线y^2=2px的焦点F(p/2,0),即(1,0),
∴p=2,y^2=4x.
(2)对y^2=4x求导得2yy'=4,y'=2/y,
设A(t^2,2t),t≠0，抛物线在A处的切线AM:y-2t=(x-t^2)/t,交x轴于M(-t^2,0),
AF:x=(t^2-1)y/(2t)+1与抛物线交于B(1/t^2,-2/t),
MB:x=-(1+t^4)y/(2t)-t^2与抛物线交于N(t^6,2t^3),
由AM⊥AN,得-2t^2(t^6-t^2)-2t(2t^3-2t)=0,
∴t^6+t^2-2=0,
(t^2-1)(t^4+t^2+2)=0,
t^2=1,t=土1，
∴A(1，土2).

Answer 2

(1)抛物线y^2=2px的焦点F(p/2,0),即(1,0),
∴p=2,y^2=4x.
(2)对y^2=4x求导得2yy'=4,y'=2/y,
设A(t^2,2t),t≠0，抛物线在A处的切线AM:y-2t=(x-t^2)/t,交x轴于M(-t^2,0),
AF:x=(t^2-1)y/(2t)+1与抛物线交于B(1/t^2,-2/t),
MB:x=-(1+t^4)y/(2t)-t^2与抛物线交于N(t^6,2t^3),
由AM⊥AN,得-2t^2(t^6-t^2)-2t(2t^3-2t)=0,
∴t^6+t^2-2=0,
(t^2-1)(t^4+t^2+2)=0,
t^2=1,t=土1，
∴A(1，土2).

Answer 3

设A坐标为(a,b), 则M坐标为(--a,0)
可求得B坐标为(1/a, -4/b),N坐标为(a^3,-b^3/4)
则[(b/2a)]*[(b+b^3/4)/(a-a^3)]=-1
解得a=2，b=+/- 2*根号2

Answer 4

圆锥曲线学会注意这几点吧
①定义和相应参数必须掌握。一些问题死算很花时间，而用定义几乎是秒杀。经常在最值类题目出现
②注意一些几何关系。在圆锥曲线题目中，经常用到三角形各心的性质，相似三角形以及全等等平面几何知识。这个经常在轨迹类题目出现。
③特别注意直线和圆锥曲线的位置关系这块知识，近几年各地高考考察率几乎是100%。尤其注意相交时的设而不求。这块知识往往是难点，难不是想不到，而是算不出。所以平时必须加强计算能力。常见问题：定值定点，参数范围，中点弦等、
④在基础的掌握后，必须自学一些课堂上讲不到的一些知识，对付一些题目可以起到事半功倍的效果。我推荐这几个：极坐标，参数方程，圆锥曲线硬解定理，隐函数求导，圆锥曲线的极点和极线。极坐标对于过焦点的直线的相关问题可谓是秒杀，参数方程可秒某些范围问题。硬解定理在80%的圆锥曲线题目中可用，但是式子复杂，我当时自己推了几遍，然后每次都用用熟的，这个熟悉了之后，常见的一些题目都能在10分钟内解决了。隐函数求导和圆锥曲线的极点极线二选一，作用一样，都是用来解决中点弦问题，比点差法快。
注：极坐标和硬解定理以及参数方程可在答题卡上作答。其他的谨慎，大题老实点差法，小题偷偷用。