Question

对于椭圆X^2+（Y^2）/9=1，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M,N，且线段MN恰好被直线X+1/2=0平分，

对于椭圆X^2+（Y^2）/9=1，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M,N，且线段MN恰好被直线X+1/2=0平分，若存在，求出l的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由。

Answer 1

显然直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+b
代入椭圆方程：
(kx+b)^2+9x^2=9
(k^2+9)x^2+2kbx+b^2-9=0
x1+x2=-2kb/(k^2+9)=-1
b=(k^2+9)/(2k)
Δ=4k^2b^2-4(k^2+9)(b^2-9)
=36k^2-36b^2+324>0
k^2-b^2+9>0
将b代入上式：
k^2-(k^2+9)^2/(4k^2)+9>0
k^4+6k^2-27>0
(k^2+9)(k^2-3)>0
k^2>3
所以k<-(3)^0.5或k>(3)^0.5
所以倾斜角范围为(π/3,π/2)∪(π/2,2π/3)

Answer 2

不存在

Answer 3

没有