Question

f(x)有一个可去间断点,是否存在原函数?

希望原创，讲清楚即可！
那为什么第二类间断点可能存在原函数呢？

Answer 1

设 f(x)的可去间断点x0, f(x) 在任何别的点都连续。 设g(x)为f(x)的连续化所得函数。 即 当 x不=x0时， g(x)=f(x), g(x0) = lim(x-->x0)f(x).
g(x)，f(x) 都是可积函数。 而g(x) 连续。 所以g(x)存在原函数G(x)。 假设f(x)存在原函数F(x). 则： h(x)=f(x)-g(x) 存在原函数 F(x)-G(x)
而 h(x) = 0 如果 x不=x0. 但是 h(x0) 不= 0. 这样的h(x) 可积， 且积分函数是常值函数。 所以F(x)-G(x) = C， C为常数。 ==》 F'(x) = G'(x) 即 g(x) = f(x) , 矛盾。 所以不存在F(x) 使得 F'(x) = f(x) 在 x=x0处成立。 即 f(x) 不存在原函数。

Answer 2

有啊 导数的间断点不影响原函数 记不记得一句话 原函数连续那么他的导数不一定连续啊