Question

若sinx^3+cosx^3<0,求sinx+cosx的取值范围 要详细的解答过程！

Answer 1

令sinx+cosx=m
(sinx+cosx)²
=sin²x+cos²x+2sinxcosx
=1+2sinxcosx

所以sinxcosx=(m²-1)/2

sin³x+cos³x
=(sinx+cosx)(sin²x+cos²x-sinxcosx)
(sinx+cosx)(1-sinxcosx)
=m[1-(m²-1)/2]
=m(3/2-m²/2)
=(3m-m³)/2

sin³x+cos³x<0
即解不等式(3m-m³)<0
m³-3m>0
m(m+√3)(m-√3)>0
用数轴穿根法解不等式：
在数轴上画出点-√3，0，√3然后穿根，
得出解集为m>√3或 -√3<m<0 (1)

又因为
sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
所以-√2<m<√2 (2)

由(1)(2)得
-√2<m<0

Answer 2

令sinx+cosx=m -√2<m<√2
sin³x+cos³x=(3m-m³)/2
3m-m³<0
m>√3或 -√3<m<0

所以-√2<m<0