Question

一道数学分析证明题，关于实数及其连续性定理的。

f在[a,+∞)上可导，又{Xn}为各点互异数列，且满足f(Xn)=0，f'(Xn)<>0，n为任意正整数。证明：lim（Xn）=+∞ (n->+∞)

Answer 1

略证如下：
若Xn有聚点，即存在收敛子列X‘n->r
f(X'n)=0，由中值定理得存在θn介于X'n两两之间使 f‘(θn)=0
易知 θn->r ，由f’(X‘n)≠0知 函数在 r 处导数不存在，与f在[a,+∞)矛盾
因此原数列无聚点，由条件知Xn->+∞ ■

Answer 2

若a=0由f(x)<0单调知成立，下面对a<0证明，(a>0)同理
采用反证法：
不妨设它有两个实根x1,x2,则有f'(x1)<0,f'(x2)<0;有f(x)的连续性知存在一个y1>x1使得f(y1)<0;存在y2<x2使得f(y2)>0，进而由介值定理知存在y1<x3<y2使得f(x3)=0;于是同样我们可以证得x1和x3之间又存在另外的根，这样就可以证明了它存在着一个任意小的区间内可以有无穷多个根，这跟函数可导是矛盾得，因为可导的话我们可以导出它在局部内是单调的不可能出现震荡的情况。