Question

已知函数fx=xln(x+a),若fx不存在极值点，求a的取值范围

Answer 1

原题是:已知函数f(x)=xln(x+a),若f(x)不存在极值点，求a的取值范围.
f'(x)=ln(x+a)+x/(x+a) (x>-a)
设g(x)=ln(x+a)+x/(x+a) (x>-a)
g'(x)=1/(x+a)+a/(x+a)²=(x+2a)/(x+a)²,(x>-a)
a≥0时
x+2a=(x+a)+a≥x+a>0,g'(x)>0
g(x)在(-a,+∞)上单增,其值域是(-∞,+∞) (注:可用极限判定)
存在x0∈(-a,+∞),使f'(x0)=g(x0)=0,且f'(x)在x=x0处左右两边值异号
x=x0是f(x)的极值点
得a≥0不可取;
a<0时
x∈(-a,-2a)时,g'(x)<0,g(x)在其上单减
x∈(-2a,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在其上单增
g'(-2a)=0,g(x)在x=-2a处取极小值也是最小值g(-2a)=ln(-a)+2
若g(-2a)=ln(-a)+2≥0 即 a≤-1/e²
f'(x)=g(x)≥0,f(x)在(-a,+∞)上单增,无极值点
得 a≤-1/e²可取
若g(-2a)=ln(-a)+2<0 即-1/e²<a<0
g(x)在(-2a,+∞)上的值域是(ln(-a)+2,+∞)
存在x1∈(-2a,+∞),使f'(x1)=g(x1)=0,且f'(x)在x=x1处左右两边值异号
x=x1是f(x)的极值点
得a-1/e²<a<0不可取;
所以 a的取值范围是(-∞,-1/e²]

希望能帮到你！

Answer 2

不会