Question

设A.F分别椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，

设A.F分别椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则该椭圆的离心率的取值范围是

Answer 1

解：连接PF，设右准线与x轴点为B，A点坐标(-a,0)、F点坐标(c,0)，右准线方程：x=c^2/a
|PF|=|AF|=c+a
|BF|=c^2/a-c
所以当|PF|>|BF|时，必存在一点P使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，即
c+a>c^2/a-c
ac+a^2>c^2-ac
a^2+2ac-c^2>0
1+2e-e^2>0
e^2-2e-1<0
1-√2<e<1+√2
所以0<e<1