Question

已知函数fx=x-aex方 若函数y=fx有两个零点 则a的取值范围

RT

Answer 1

解由f（x）=x-ae^x
求导得f'(x)=1-ae^x
当a≤0时，f'(x)＞0，此时f（x）是增函数，不存在2个零点，
当a＞0时，令f'(x)=1-ae^x=0
解得x=ln（1/a）
又由x属于（负无穷大，ln（1/a）），f'(x)＞0
又由x属于（ln（1/a），正无穷大），f'(x)＜0
故x=ln（1/a）是函数的极大值点
则又由函数fx=x-aex方 若函数y=fx有两个零点
则f（1/a）=1/a-ae^(ln（1/a）)=1/a-1＞0
即1/a＞1
即0＜a＜1

追问

• 不好意思诶。答案是0<a<1/e  不知道为什么

Answer 2

答：
f(x)=x-ae^x有两个零点
f'(x)=1-ae^x
假设a<=0，则-a>=0
所以：f'(x)>=1
f(x)是R上的单调递增函数，最多有一个零点，不符合题意
所以：a>0
解f'(x)=1-ae^x=0得：e^x=1/a，x=ln(1/a)=-lna
x<-lna时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数
x>-lna时，f'(x)<0，f(x)是单调递减函数
所以：x=-lna时，f(x)取得最大值
f(x)存在两个零点，则f(-lna)=-lna-ae^(-lna)=-lna-1>0
所以：lna<-1
解得：0<a<1/e