Question

求下列一阶线性微分方程的解 （1）y'=1/(x+siny) （2）(x-siny)dy+tanydx=0,y(1)=π/6

求下列一阶线性微分方程的解
（1）y'=1/(x+siny)
（2）(x-siny)dy+tanydx=0,y(1)=π/6

Answer 1

解：（1）y'=1/(x+siny) ==>dx/dy=x+siny
先求dx/dy=x的通解
∵dx/dy=x ==>dx/x=dy
==>ln│x│=y+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=Ce^y
∴dx/dy=x的通解是x=Ce^y
于是，设dx/dy=x+siny的通解为x=C(y)e^y (C(y)是关于y的函数)
∵dx/dy=C'(y)e^y+C(y)e^y
代入得C'(y)e^y+C(y)e^y=C(y)e^y+siny
==>C'(y)e^y=siny
==>C'(y)=siny*e^(-y)
∴C(y)=∫siny*e^(-y)dy
=-e^(-y)(siny+cosy)/2+C (应用分部积分法，C是积分常数)
x=[-e^(-y)(siny+cosy)/2+C]e^y
=Ce^y-(siny+cosy)/2
故原微分方程的通解是x=Ce^y-(siny+cosy)/2 （C是积分常数）。
（2）(x-siny)dy+tanydx=0 ==>(x-siny)dy+sinydx/cosy=0
==>dx/dy+xcosy/siny=cosy
先求dx/dy+xcosy/siny=0的通解
∵dx/dy+xcosy/siny=0 ==>dx/x=-cosydy/siny
==>dx/x=-d(siny)/siny
==>ln│x│=-ln│siny│+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=C/siny
∴dx/dy+xcosy/siny=0的通解是x=C/siny
于是，设dx/dy+xcosy/siny=cosy的通解为x=C(y)/siny (C(y)是关于y的函数)
∵dx/dy=[C‘(y)siny-C(y)cosy]/sin²y
代入得C‘(y)/siny=cosy
==>C‘(y)=sinycosy=sin(2y)/2
∴C(y)=∫sin(2y)dy/2
=-cos(2y)/4+C (C是积分常数)
x=[C-cos(2y)/4]/siny
∴dx/dy+xcosy/siny=cosy的通解是x=[C-cos(2y)/4]/siny (C是积分常数)
∵y(1)=π/6
∴(C-1/8)/(1/2)=1 ==>C=5/8
∴x=[5-2cos(2y)]/(8siny)
故(x-siny)dy+tanydx=0满足初始条件y(1)=π/6的特解是x=[5-2cos(2y)]/(8siny)。

Answer 2

1.dy/dx=1/(x+siny)=>dx/dy=x+siny=> dx/dy-x=siny
2.dx/dy=(siny-x)/tany=> dx/dy+1/tany x=cosy
我已经把两个都化成一阶非齐次线性微分方程，代入公式就可以求解了。需要求出答案否？