Question

已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连接AN、BM，分别交CM、CN

已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连接AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．

Answer 1

证明：∵△ACM和△BCN都是正三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，BC=CN．
∵点C在线段AB上，
∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°．
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°．
即∠NCA=∠BCM=120°．
∵在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠BCM CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴∠ANC=∠MBC．
∵在△PCN和△QCB中，

∠ANC=∠MBC ∠MCN=∠BCN CN=CB

，
∴△PCN≌△QCB（AAS）．
∴PC=QC．
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形．
∴∠PQC=60°，
∴∠PQC=∠QCB．
∴PQ∥AB．