Question

2011大连中考最后一题最后一问：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点

如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．第二问不用了，要第三问的详细过程

Answer 1

答案：解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2 +bx+c（a≠0）， ∵抛物线经过点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）, ∴，解得 ∴二次函数式为y=-x 2 +2x+3； （2）由y=-x 2 +2x+3=-（x-1） 2 +4， 则顶点P（1，4），对称轴是：x=1． 由B，C两点坐标可知，直线BC解析式为y=-x+3，点M点坐标为（1,2） 设过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+b， 将点P（1，4）代入，得y=-x+5， 将y=-x+5代入抛物线y=-x 2 +2x+3中， -x 2 +2x+3=-x+5，解得x=1或x=2， 代入y=-x+5，则得点Q（1，4）或（2，3）， 点Q（1，4）与P重合， ∴点Q（2，3）， 设PM与x轴交点为P′，而M（1，2）， ∴PM=MP′=2， 设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y=-x+c， 将P′代入，得y=-x+1， ，解得x=或x= ∴Q（2，3）或（，）或（，）； （3）要使△RPM与△RMB的面积相等，则点P到MR的距离等于点B到MR的距离． 由点M（1,2），P（1,4）， PM=P’M可知：点R存在，即过点M平行于x轴的直线:y=2， 代入抛物线y=-x 2 +2x+3中得：x=或x=（在对称轴的左侧，舍去）， ∴点R（，2）．

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