Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），设直线l1，l2分别是曲线y=f（x）的两条不同的切线．（1

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），设直线l1，l2分别是曲线y=f（x）的两条不同的切线．（1）若函数f（x）为奇函数，且当x=1时f（x）有极小值为-4．（i）求a，b，c，d的值；（ii）若直线l3亦与曲线y=f（x）相切，且三条不同的直线l1，l2，l3交于点G（m，4），求实数m的取值范围；（2）若直线l1∥l2，直线l1与曲线y=f（x）切于点B且交曲线y=f（x）于点D，直线l2和与曲线y=f（x）切于点C且交曲线y=f（x）于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，求（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）的值．

Answer 1

（1）（i）∵x∈R，f（x）为奇函数，
∴f（0）=d=0，f（-x）=-f（x），即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx，
∴b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
则f′（x）=3ax²+c，
又当x=1时f（x）有极小值为-4，
∴

f′(1)＝0 f(1)＝?4

，即

3a+c＝0 a+c＝?4

，
解得：

a＝2 c＝?6

，
即f（x）=2x³-6x，
经检验f（x）=2x³-6x满足题意．
∴a=2，c=-6，b=d=0；
（ii）设（x₀，y₀）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得f′(x0)＝6x02?6，
则曲线y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线方程为y＝(6x02?6)(x?x0)+y0，
即y＝(6x02?6)x?4x03，显然过某一点的切线最多有三条；
又f′（-1）=0，f（-1）=4，
∴y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）；
设另两条切线切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁≠1，x₂≠1且x₁≠x₂，