Question

几道高中数学题，求解，要详细过程，加分

1，若曲线f（x）=1/3x³+x²+mx的所有切线中，只有一条与直线x+y-3=0垂直，则实数m的值等于？

→ → → →
2已知A,B,C三点共线，O是这条直线外的一点，若mOA-2OB+OC=O，则m的值为？
（）
3设奇函数f（x）在[-1,1]上是增函数，且f（-1）=-1，若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的
x属于[-1,1]都成立，当a属于[-1,1]时，则t的取值范围是？

Answer 1

1,f(x)的导数式子是=x*x+2x+m，直线y=3-x；该直线斜率是-1；则x*x+2x+m=1是切线和直线垂直，有唯一的解，于是b*b-4ac=0；有4-4*（m-1）=0；得到m=2

（2）mOA-2*（OA+AB）+OA+AC=0；

化简得到（m-1）*OA=2AB-AC；画图可以知道A B C共线的，于是2AB-AC也是在原来一个线上，向量要相等，除了长度还有方向，留意OA的方向，他是与 A B C方向不同的，只能是m-1=0了

所以m=1；

（3）f（x）在区间[-1,1]是增函数，f（x）<=t*t-2at+1;恒成立，需要t*t-2at+1=>f(x)的最大值=1；

于是t*t-2at+1=>1，可以知道a属于[-1,1],那就以a为未知数，t为参数；可以知道-2t*a+t*t>=0,这是个直线，斜率是-2t，定义域在【-1,1】

分两种情况 

a。-2t>0,-2t*1+t*t>=0;-2t*(-1)+t*t>=0 得到t<=-2；

b。-2t<0,-2t*1+t*t>=0;-2t*(-1)+t*t>=0得到t>=2;

c,-2t=0得到t=0；显然成立

综合起来时（负无穷,-2]并{t=0}并[2,正无穷）

Answer 2

1. f'(x) = x2 + 2x + m
这是切线的斜率，与x+y-3=0垂直，所以斜率为1
也就是说x2 + 2x + m = 1只有重根算，△=0，所以m=2

2. 将mOA+OC的平行四边形作出来，B是平行四边对角线交点，所以mOA就是OA，所以m=1

3. f(x)≤t2-2at+1对所有的x属于[-1,1]都成立。右边是常量，所以只需max(f(x))≤t2-2at+1就可以了，由f(x)是增函数知，max(f(x))= f(1)= -f(-1)=1，所以这个条件造价于t2-2at+1≥1，即t2-2at≥0
左边关于a是直线，所以只需当a=-1和a=1时成立就可。
即t2+2t≥0和t2-2t≥0，
解第一个得t≥0或t≤-2，第二个求解得t≥2或t≤0，
取交集，得t≥2或t≤-2
即t的范围是(-∞，-2)∪{0}∪(2，+∞）