如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE
如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.(1)请在图中找出一对全等三角形,用符...
如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.(1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明;(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由;(3)若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积.
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解:(1)(选证一)△BDE≌△FEC.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60度.
∵CD=CE,
∴△EDC是等边三角形.
∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120度.
又∵EF=AE,
∴BD=FE.
∴△BDE≌△FEC.
(选证二)△BCE≌△FDC.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60度.
又∵CD=CE,
∴△EDC是等边三角形.
∴∠BCE=∠FDC=60°,DE=CE.
∵EF=AE,
∴EF+DE=AE+CE.
∴FD=AC=BC.
∴△BCE≌△FDC.
(选证三)△ABE≌△ACF.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60度.
∵CD=CE,∴△EDC是等边三角形.
∴∠AEF=∠CED=60度.
∵EF=AE,△AEF是等边三角形.
∴AE=AF,∠EAF=60度.
∴△ABE≌△ACF.
(2)四边形ABDF是平行四边形.
理由:由(1)知,△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形.
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度.
∴AB∥DF,BD∥AF.
∴四边形ABDF是平行四边形.
(3)由(2)知,四边形ABDF是平行四边形.
∴EF∥AB,EF≠AB.
∴四边形ABEF是梯形.
过E作EG⊥AB于G,则EG=2
.
∴S四边形ABEF=
EG?(AB+EF)=
×2
×(6+4)=10
.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60度.
∵CD=CE,
∴△EDC是等边三角形.
∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120度.
又∵EF=AE,
∴BD=FE.
∴△BDE≌△FEC.
(选证二)△BCE≌△FDC.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60度.
又∵CD=CE,
∴△EDC是等边三角形.
∴∠BCE=∠FDC=60°,DE=CE.
∵EF=AE,
∴EF+DE=AE+CE.
∴FD=AC=BC.
∴△BCE≌△FDC.
(选证三)△ABE≌△ACF.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60度.
∵CD=CE,∴△EDC是等边三角形.
∴∠AEF=∠CED=60度.
∵EF=AE,△AEF是等边三角形.
∴AE=AF,∠EAF=60度.
∴△ABE≌△ACF.
(2)四边形ABDF是平行四边形.
理由:由(1)知,△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形.
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度.
∴AB∥DF,BD∥AF.
∴四边形ABDF是平行四边形.
(3)由(2)知,四边形ABDF是平行四边形.
∴EF∥AB,EF≠AB.
∴四边形ABEF是梯形.
过E作EG⊥AB于G,则EG=2
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