Question

为什么f(x)+f(-x)是偶函数？请写出解题步骤。谢谢

Answer 1

设f(x)为奇函数

则f(-x)=-f(x)

代入原式=f(x)-f(x)

得f(-x)-f(-x)=-f(x)+f(x)

所以f(x)+f(-x)是偶函数

则f(-x)+f(-x)=f(x)+f(x)

所以f(x)+f(-x)是偶函数

当f(x)是R上的任意函数时

f(x)+f(-x)都为偶函数

偶函数性质：

1、图象关于y轴对称

2、满足f(-x) = f(x) 

3、关于原点对称的区间上单调性相反 

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

Answer 2

设f(x)为奇函数
则f(-x)=-f(x)
代入原式=f(x)-f(x)
得f(-x)-f(-x)=-f(x)+f(x)
所以f(x)+f(-x)是偶函数
设f(x)为偶函数
则f(x)=f(-x)
代入原式=f(x)+f(x)
则f(-x)+f(-x)=f(x)+f(x)
所以f(x)+f(-x)是偶函数
综上，当f(x)是R上的任意函数时
f(x)+f(-x)都为偶函数

Answer 3

设f(x)为奇函数
则f(-x)=-f(x)
代入原式=f(x)-f(x)
得f(-x)-f(-x)=-f(x)+f(x)
所以f(x)+f(-x)是偶函数
则f(-x)+f(-x)=f(x)+f(x)
所以f(x)+f(-x)是偶函数
，当f(x)是R上的任意函数时
f(x)+f(-x)都为偶函数

Answer 4

解析：
满足如下两个条件的函数，是奇函数。
a：定义域关于原点对称
b：f(x)=-f(-x)
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满足如下两个条件的函数，是偶函数。
a：定义域关于原点对称
b：f(x)=f(-x)
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实际解题时，可能会用到：
f(x)+f(-x)=0或f(x)/f(-x)=±1
视实际题目而定。