Question

圆锥曲线解题技巧归纳(2)

Answer 1

　　三、常规七大题型：

　　(1)中点弦问题

　　具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为　　，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。

　　如：(1)　　与直线相交于A、B，设弦AB中点为　　，则有　　。

　　(2)　　与直线　　相交于A、B，设弦AB中点为　　,则有

　　(3)　　与直线　　相交于A、B设弦AB中点为　　,则有　　,即　　.

　　(2)焦点三角形问题

　　椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点　　构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

　　(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

　　直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

　　(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

　　圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

　　<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

　　<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

　　<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围;对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

　　最值问题的处理思路：

　　1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围;

　　2、数形结合，用化曲为直的转化思想;

　　3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值;

　　4、借助均值不等式求最值。

　　(5)求曲线的方程问题

　　1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

　　2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

　　(6)存在两点关于直线对称问题

　　在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

　　(7)两线段垂直问题

　　圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用　　来处理或用向量的坐标运算来处理。

　　四、解题的技巧方面：

　　在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

　　(1)充分利用几何图形

　　解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

　　(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

　　我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

　　(3) 充分利用曲线系方程

　　利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

　　(4)充分利用椭圆的参数方程

　　椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

　　(5)线段长的几种简便计算方法

　　① 充分利用现成结果，减少运算过程

　　一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程　　代入圆锥曲线方程中，得到型如　　的方程，方程的两根设为　　，判别式为△，则　　，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

　　② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

　　在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

　　③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。