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求y〃-y′=x²的通解
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求微分方程
y''-y′=x²的通解
解:齐次方程y''-y'=0的特征方程
r²-r=r(r-1)=0的根:r₁=0;r₂=1;
因此齐次方程的通解为:y=C₁+C₂e^x.
设原方程的特解y*=ax³+bx²+cx
则y*'=3ax²+2bx+c;y*''=6ax+2b;代入原式得:
6ax+2b-(3ax²+2bx+c)=-3ax²+(6a-2b)x+2b-c=x²
故-3a=1,即a=-1/3;6a-2b=-2-2b=0,故b=-1;2b-c=-2-c=0,故c=-2;
于是得特解:y*=-(1/3)x³-x²-2x;
∴原方程的通解为:y=C₁+C₂e^x-(1/3)x³-x²-2x;
y''-y′=x²的通解
解:齐次方程y''-y'=0的特征方程
r²-r=r(r-1)=0的根:r₁=0;r₂=1;
因此齐次方程的通解为:y=C₁+C₂e^x.
设原方程的特解y*=ax³+bx²+cx
则y*'=3ax²+2bx+c;y*''=6ax+2b;代入原式得:
6ax+2b-(3ax²+2bx+c)=-3ax²+(6a-2b)x+2b-c=x²
故-3a=1,即a=-1/3;6a-2b=-2-2b=0,故b=-1;2b-c=-2-c=0,故c=-2;
于是得特解:y*=-(1/3)x³-x²-2x;
∴原方程的通解为:y=C₁+C₂e^x-(1/3)x³-x²-2x;
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