Question

高一数学题 高分求解

一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40和60，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，怎么剪，残料最少，并求出残料面积
我要过程

Answer 1

设⊿ABC, ∠B=90°, AB=60, BC=40
则AC=20√13
设AC上点D，DC=x
过D作DG⊥AB, DH⊥BC，
则矩形GBHD面积f(x)= -6/13*( x^2-20√13x) = -6/13*( x-10√13)^2+600
∴沿DG,DH剪,得矩形面积最大为600，残料面积600

Answer 2

解：设矩形所在直角三角形短边上的一边长为x
由相似三角形的对应边的比例关系知矩形另一边长：3/2(40-x)
矩形面积S=3/2(40-x) x=-3/2(x-20)^2+600≤600
显然x=20时，S=600最大，此时残料面积1200-S=600最少

Answer 3

三角形边长比40：60 = 2:3.
设在40边上矩形边长为x，则残余边长为40-x，则矩形另一条边长为1.5（40-x）。矩形面积 = 1.5x*(40-x) ，顶点坐标（20，600）矩形边长（20，30）。
残料面积 = 40*60/2 - 600 = 600

Answer 4

40边剪20,60边剪30，残料最少600
BC=1.5AB,所以OM=1.5AM,
设AM=x，则OM=1.5x，BN=1.5x，BM=40-x
S=OM*BM=1.5x*(40-x)=-1.5x² +60x (x>0)
当x=20时，即BM=20，BN=30时，Smax=600，残料最少=1/2*40*60-Smax=600