Question

已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点，链接AF交CE与点H，

已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点，链接AF交CE与点H，联结AC CF BD OD
(1)求证△ACH相似于△AFC
(2)猜想AH×AF与AE×AB的数量关系并证明猜想。
(3)探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4？并加以说明

Answer 1

1，弧AC=弧AD,所以圆周角AFC=ACD,所以1得证
2，连接FB，三角形AEH全等于三角形ABF,所以AH/AB=AE/AF,所以AH*AF=AE*AB
3，S△AEC=AE*CE/2，S△BOD=BO*ED/2
CE=ED,4*AE*CE/2=BO*CE/2------->4*AE=BO,所以E点在AB的1/8处

Answer 2

解：
（1）
∵OA过圆心且CD⊥AB
∴弧AC=弧AD
∴∠F=∠ACD
又∵∠CAF=∠CAF
∴△ACH∽△AFC
（2）
连接BC
∵AD为直径
∴∠ACB=90°
又∵CE⊥AB
∴AE×AB=AC²
∵△ACH∽△AFC
∴AC/AH=AF/AC
∴AC²=AH×AF
∴AH×AF=AE×AB
（3）
S△AEC=1/2AE×CE
S△ODE=1/2OE×OD
S△OBD=1/2BO×DE
∴S△AEC：S△BOD=AE:BO=1:4
∴当AE=1/8AB时
S△AEC：S△BOD=1：4