如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点。求证:AB²-AP²=PB×PC
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P是BC延长线任一点,连接AP,并做AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ADP中,AP2=AD2+DP2,
∴AP2-AB2=(AD2+BD2)-(AD2+DP2)=PD2-BD2,
又∵BP=BD+DP,CP=DP-CD=DP-BD,
∴BP?CP=(BD+DP)(DP-BD)=DP2-BD2,
∴AP2-AB2=BP?CP.
扩展资料:
证明
∵ DF⊥ BCDG ⊥ AC
∴ D,F,G,C四点共圆
因此 ∠AGT = ∠FDC = 90° - ∠FCD = 90° -∠BAD = 90° - ∠CAQ
从而 ∠ATG = 90°即 AQ ⊥ EF
参考资料来源:百度百科-等角线
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