Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。

如图，若点P在线段AO上（不与点A，O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。写出线段PC，PA，CE之间的一个等量关系，并证明你的结论。

Answer 1

如图：延长DP交AD于G

延长FP交AB于H

连接DP

过P点做JK⊥AD分别交BC、AD于J、K

∵EP⊥BP

∴∠EPF+∠BPH=90°

由于FH⊥BH

∴∠BHP=90°

∴∠HBP+∠BHP=90°

∴∠HBP=∠EPF

∴Rt△EFP∽Rt△PHB

由于P平分∠JCF

PJ⊥BC，PF⊥CF

∴PJ=PF（角平分线到两边距离相等）

又PJ=BH

所以PF=BH

由于Rt△EFP∽Rt△PHB

PF=BH

∴BP=PE

又BC=CD

∠BCP=∠DCP

CP共用

∴△BCP≌△CDP

∴BP=DP

所以DP=PE

∴△EPD为等腰三角形

又PF⊥ED

∴EF=DF

在等腰直角三角形PFC中

PC平方=PF^2+CF^2=2CF^2=2(CE+EF)^2

在等腰直角三角形PHA中

AP^2=PH^2+AH^2=2PH^2

又EF=PH

∴AP^2=2EF^2

∴EF=AP*二分之根号二

∴PC平方=2(CE+EF)^2=2(CE+AP*二分之根号二)^2