Question

如图,已知矩形ABCD中,AB=2,BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P点，交边BC于点F

如图,已知：矩形ABCD中,AB=2,BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P点，交边BC于点F（点F与点B,C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE,ED，并保持∠EPF=∠FBP，设B,P两点的距离为x，△DEP面积为y。
（1）求出tan∠PBF；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当△ABC与△BCD相似时，求△DEP的面积。

Answer 1

1
tanPBF=CD/BC=1/2

2
PB=x, 所以PD=BD-x=2√5-x
做EH⊥BD于H，
PF/PB=tanPBF=1/2
所以PF=x/2
所以BF=√(PF^2+PB^2)=√5x/2

因为∠EPF=∠FBP，且∠PEF为公共角
所以△BEP∽△PEF
所以PE/FE=BE/PE=PB/PF=2
所以PE^2=BE*FE
设FE=t,PE=2t，带入上式得到

4t^2=(t+√5x/2)t
解得FE=t=√5x/6
所以BE=BF+FE=√5x/2+√5x/6=2√5x/3

所以PF/EH=BF/BE=(√5x/2)/(2√5x/3)
所以EH=2x/3

所以△DEP面积为y=(1/2)PD*EH=x(2√5-x)/3 ，(0<x<=8√5/5)

3
△ABC∽△BCE
所以CE=BC/2=1
所以BE=2√5x/3=3
所以x=9√5/10
所以△DEP面积为y=x(2√5-x)/3=33/20