Question

如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO交O于点D，连接CD，（1）求证：∠COD=2∠ACD；（2）若CD=655，⊙O的半径r

如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO交O于点D，连接CD，（1）求证：∠COD=2∠ACD；（2）若CD=655，⊙O的半径r=3．求AC的长．

Answer 1

（1）证明：过O作OE⊥CD，垂足为E，
∴∠COE=∠DOE=

1

2

∠COD，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∵直线AB与⊙O相切于点C，
∴∠ACD+∠OCE=90°，
∴∠ACD=∠COE，
∴∠COD=2∠ACD；

（2）解：过D作DG⊥AC于G，
∵∠ACD=∠COE，
∴△OCE∽△CDG，
∵CD=

6 5

5

，r=3．
∴DG=

6

5

；
∵∠DAG=∠OAC，
∴△AGD∽△ACO，
∴AD=2，
∴AO=5；
∴AC=4．