Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C-A1DE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC₁ 交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，故DF为三角形ABC₁的中位线，故DF∥BC₁．
由于DF?平面A₁CD，而BC₁不在平面A₁CD中，故有BC₁∥平面A₁CD．

（Ⅱ）∵AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB₁A₁ ，∴CD=

AC?BC

AB

=

2

．
∵A₁D=

A1A2+AD2

=

6

，同理，利用勾股定理求得 DE=

3

，A₁E=3．
再由勾股定理可得A1D2+DE²=A1E2，∴A₁D⊥DE．
∴S△A1DE=

1

2

?A1D?DE=

3 2

2

，
∴VC-A1DE=

1

3

?S△A1DE?CD=1．