（2014?郑州一模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相
（2014?郑州一模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF...
（2014?郑州一模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？
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解答：
（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，…（2分）
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF． …（3分）
∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．…（4分）
（II）解：根据（Ⅰ）的证明，有AF⊥平面CBF，
∴FB为AB在平面CBF内的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角 …（6分）
∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，
过点F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，则AH=
=
．
在Rt△AFB中，根据射影定理AF2=AH?AB，得AF=1． …（8分）
∴sin∠ABF=
=
，∴∠ABF=30°．
∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°． …（9分）
（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则 C（-1，0，t），A(1，0，0)，B(-1，0，0)，F(
，
，0)
∴
=(2，0，0)，
=(
，-
，t)…（10分）
设平面DCF的法向量为
=(x，y，z)，则
?
=0，
?
=0，即
令z=
，解得x=0，y=2t，∴
=(0， 2t，
)…（12分）
由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为
=
=(-
，
， 0)，
依题意
与
的夹角为60°，∴cos60°=
，即
=
（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，…（2分）
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF． …（3分）
∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．…（4分）
（II）解：根据（Ⅰ）的证明，有AF⊥平面CBF，
∴FB为AB在平面CBF内的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角 …（6分）
∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，
过点F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，则AH=
| AB-EF |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△AFB中，根据射影定理AF2=AH?AB，得AF=1． …（8分）
∴sin∠ABF=
| AF |
| AB |
| 1 |
| 2 |
∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°． …（9分）
（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则 C（-1，0，t），A(1，0，0)，B(-1，0，0)，F(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| CD |
| FD |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
设平面DCF的法向量为
| n1 |
| n1 |
| CD |
| n1 |
| FD |
|
令z=
| 3 |
| n1 |
| 3 |
由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为
| n2 |
| AF |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
依题意
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
|
