Question

高一数学 要详细过程 谢谢！急！ （函数题)

已知函数f(x)=(2a+1)/a-1/(a^2x)，常数a>0
1）设m*n>0证明：函数在[m,n]上单调递增（已求证）
2）设0<m<n且f(x)的值域和定义域都是[m,n],求n-m的最大值（详细过程，好的加分 谢谢！）

Answer 1

(1)∵f（x）= （2a＋1）/a－1/a²x =（－1／a²）／x＋（2a＋1）/a 且a＞0
∴1／a²＞0 ∴－1／a²＜0
（这题类似反比例函数y=k／x，k≠0相当于k=－1／a²）
∵反比例函数y=（－1/a²）／x在[m，n]为增函数。（画出图像即可）
又f（x）的单调性与反比例函数y的单调性相同。
∴函数f（x）在[m，n]上单调递增。

（2）∵f（x）的定义域和值域都是[m，n]， （0＜m＜n）
由（1）知，f（x）= （－1／a²）／x＋（2a＋1）／a ，（a＞0）在区间[m，n]上为增函数。
∴f（x）min=f（m）=（－1／a²）／m＋（2a＋1）／a =m ， ①
∴f（x）max=f（n）=（－1／a²）／n＋（2a＋1）／a =n， ②
结合题意，又由①②知，对于方程（－1／a²）／x＋（2a＋1）／a = x有两个相异正实根m，n。
即：方程x²－[（2a＋1）／a ）]x＋1／a²= 0有两个异正实根m，n。
∴判别式Δ=[（2a＋1）／a ）]²－4•1•1／a²＞0
即：[（2a＋1）²－4]／a²＞0
（2a＋1）²－4＞0，
∴（2a－1）•（2a＋3）＞0
∴a＜－3／2 或a＞1／2 ，又a＞0 ∴a＞1／2
由韦达定理得：m＋n =（2a＋1）／a =2＋1／a＞0 ③
m•n=1／a²＞0 ④
显然③④对于a＞1／2时成立。
∴a＞1／2

(n-m)²=(n+m)²-4mn=(2＋1／a)²-4／a²=-3／a²+4／a+4
=-3(1/a-2/3)²+16/3
∵0<1/a<2,∴1/a=2/3时，(n-m)²取到最大值16/3.
∴n-m的最大值是4√3/3.