Question

设p是大于1的正整数，p^-1+q^-1=1。证明，对任意正整数,有1/p × x^p + 1/q≥x

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解：因为1/p+1/q=1
①
所以pq=p+q
(两边同时除以q)
即
p=p/q
+1
因为p属于正自然数，
所以p/q是整数
令p=n*q
(n是自然数）
代入方程①，化简得：
q=(n+1)/n=1+1/n为正自然数
所以n只能为1
所以p=q=2
[(1/p)x^p+1/q]-x=1/2[x^2-2x+1]
=1/2(x-1)^2
≥0
所以(1/p)x^p+1/q≥x

Answer 3

我刚刚算过了，得出来了结论，但是不好表达。
我大概说下思路。
先把q换成p,然后把X左移变成左式子大于等于0.然后把左式子设为f(x),进行导数,导了以后再导一次,就知道导函数在X大于等于0的区间是大于等于0的,所以等式成立
楼上的错了，题目没说q是自然数啊。
我的方法是对的。就是怕楼主看不懂

Answer 4

解：因为x>0且不等于1，p,q为正整数，
当0<x<1时，所以x^p＜1,x^q＜1
所以1+x^(p+q)-(x^p+x^q)=(x^p-1)(x^q-1)＞0
即1+x^(p+q)＞(x^p+x^q)

当x>1时， x^p>1,x^q>1
所以也有1+x^(p+q)-(x^p+x^q)=(x^p-1)(x^q-1)＞0
即1+x^(p+q)＞(x^p+x^q)
故有1+x^(p+q)＞(x^p+x^q)