Question

请教：高等数学导数应用的一道证明题

证明三角形的面积不超过【（3倍根号3）乘以（R的平方）】/4,其中R为外接圆半径。（导数的应用）

Answer 1

证明：
由正弦定理知
a/sinA=b/sinB=c/sinC＝2R，R是三角形ABC的外接圆半径
三角形ABC的面积可表示为S=(1/2)*a*b*sinC,C是a,b的夹角
将a=sinA*2R,b=sinB*2R代入
S=(1/2)*sinA*2R*sinB*2R*sinC=sinAsinBsinC*2R²
要证明S<=[3(根号3)/4]R²
只需要证sinAsinBsinC<=3(根号3)/8
因为A+B+C=180,C=180-(A+B)
所以sinC=sin(A+B)
构造二元函数y=f(A,B)=sinAsinBsin(A+B)
要使y=f(A,B)取极值，则y对A的一价偏导数和对B的一阶偏导数都要为0
对A的一价偏导数
fA(A,B)
=cosAsinBsin(A+B)+sinAsinBcos(A+B)
=sinB[cosAsin(A+B)+sinAcos(A+B)]
=sinBsin(2A+B)=0
因为sinB不等于0，所以要使偏导数为0，必有sin(2A+B)=0
由此得2A+B=180
同理对B求一阶偏导可得到2B+A=180
联解A，B组成的二元一次方程组解得,A=60,B=60
易检验，当A=B=60时，S取得极大值
y(max)=f(60,60)=sin60sin60sin(60+60)=3(根号3)/8
所以sinAsinBsinC<=3(根号3)/8成立
因此，S<=[3(根号3)/4]R²也成立，当且仅当三角形ABC是等边三角形时取等号
分数的诱惑，本来打算这星期不答题了，可是一看到100多分，舍不得啊！
这是最后一题~~