Question

一道有关导数的证明题，向高人们请教

对于函数f(x),若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在,是否f'(x)必存在？
请各位数学达人写出具体的解题过程，谢谢

Answer 1

不一定存在的，要紧扣导数的定义啊，若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/(△x)，则f'(x)必存在
但是lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在，只能说明f'(x+△x)存在
但反过来，若f'(x)存在，则lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在
因为 lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)+f(x)-f(x-△x)]/(△x)
=2f'(x)

追问

这位前辈，你讲解的很好，但我还是有一个不太清楚的地方
lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在，是怎么得出f'(x+△x)存在这个结论的？

追答

那是因为lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)=lim2*[f(x+△x)-f(x-△x)]/((x+△x)-(x-△x)=
2f'(x+△x) 注意导数的定义，它是函数值的差值除以对应自变量的差值，再取极限得到的结果

不知道你是否明白。导数的定义是很严格的，这里给出的只是某一点处导数值存在的定义，注意只是这一个点，在它的小邻域内这个函数是否存在导数还是个未知数。不管怎样，都要抓住导数的定义来证明。
导数定义有以下几种形式：（1）若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/(△x)存在，则f'(x)必存在
（2）若lim(x→x0) [f(x+)-f(x0)]/(x-x0)存在，则f'(x0)必存在
注意灵活运用

Answer 2

当X趋向于0时,分母为最小值,则分数值为最大,所以存在

Answer 3

不一定成立。
反例，g(x)是一个任意可导函数，f(x)和g(x)在除了x0以外的点处处相等，而只在x0处不连续，则必然满足你写的条件，但在x0处不可导。

Answer 4

不必存在！
取f(x)=|x|，x=0，则你的极限总存在（等于0），但f'(0)不存在

Answer 5

lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)
=lim(△x→0) ([f(x+△x)-f(x)]/(△x)+[f(x)-f(x-△x)]/(△x))
=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x)+lim(△x→0)[f(x)-f(x-△x)]/(△x)
=2f'(x)

Answer 6

不一定。因为在取极限过程中，△x不能为0，所列极限没有f(x)的信息。例如：
f(0)=1， x不等于0时，f(x)=x。
这个函数在x=0处不连续，但f(0+△x)-f(0-△x）=2△x，极限为2.